Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.
Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.
Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями
На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.
Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M
и N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.
Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.
Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2n+1)-угольника; б) 2n-угольника?
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?
Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором
BAC = 30o,
ACD = 40o,
ADB = 50o,
CBD = 60o и
ABC +
ADC = 180o.
На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
S1 – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
S2 – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что S1 ≠ S2.
Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на
гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к
плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28.
Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади
шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
Решите в целых числах уравнение 1990x – 173y = 11.
Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.
Придайте смысл равенству = (–1)1/i ≈ 231/7.
Доказать, что для любого натурального n число 62(n+1) − 2n+3·3n + 2 + 36 делится на 900.
Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности,
попарно касающиеся в этих точках.
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся
его сторон в точках
A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC
и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.
Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если
описанные окружности треугольников ABB1 и ACC1 пересекаются в точке,
лежащей на стороне BC, то
A = 60o.
Набор чисел A1, A2, ..., A100 получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
B1 = A1, B2 = A1 + A2, B3 = A1 + A2 + A3, ..., B100 = A1 + A2 + A3 + ... + A100.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел B1, B2, ..., B100 найдутся 11 различных.
Задачи Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 171]
Задача 67027 |
|
|
Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.
|
|
Решение |
Задача 97855 |
|
|
Набор чисел A1, A2, ..., A100 получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
B1 = A1, B2 = A1 + A2, B3 = A1 + A2 + A3, ..., B100 = A1 + A2 + A3 + ... + A100.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел B1, B2, ..., B100 найдутся 11 различных.
|
|
Решение |
Задача 111922 |
|
|
Докажите, что при любых натуральных 0 < k < m < n числа и
не взаимно просты.
|
|
|
Решение |
Задача 116219 |
|
|
На доске выписано (n – 1)n выражений: x1 – x2, x1 – x3, ..., x1 – xn, x2 – x1, x2 – x3, ..., x2 – xn, ..., xn – xn–1, где n ≥ 3. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо (x1 – x2) +
(x2 – x3) Лёша запишет x1 – x3, а вместо (x1 – x2) + (x2 – x1) он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
|
|
|
Решение |
Задача 111336 |
|
|
Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?
|
|
|
Решение |
Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 171]
