Каталог по темам

Задачи

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1376]

Задача 79499

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.

Прислать комментарий Решение

Задача 97878

Темы:	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Гольберг А.И., Гурвич В.А.

а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.

б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).

Прислать комментарий

Решение

Задача 97890

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Болтянский В.

а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁A₂A₃...A_n. Рассматриваются углы A_iOA_j при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.

Прислать комментарий

Решение

Задача 104006

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Куб	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

Прислать комментарий Решение

Задача 105174

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8

На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки (прямоугольника 1×2), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили одну клетку, как показано на рисунке. Разрешается вынимать любую доминошку, а затем класть её на две соседние пустые клетки.

Докажите, что можно расположить все доминошки горизонтально.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 1376]