На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов.

   Решение

При каком  n > 1  может случиться так, что в компании из  n + 1  девочек и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

   Решение

Внутри квадрата ABCD взята точка M, причём MAB = 60^o, MCD = 15^o. Найдите MBC.

   Решение

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?

   Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 290]      

На сторонах AB и AC угла BAC, равного 120^o, как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если AB = 4, AC = 2.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Прислать комментарий

Решение

На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Прислать комментарий

Решение

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?

Прислать комментарий

Решение

Длина ребра правильного тетраэдра равна a. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.
Докажите, что периметр P этого треугольника удовлетворяет неравенству  P > 2a.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 290]