Страница:
<< 182 183 184 185
186 187 188 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
В углы B и C треугольника ABC вписаны две окружности
радиусов 2 и 3, касающиеся биссектрисы угла A треугольника.
Найдите эту биссектрису, если расстояние между точками, в которых окружности касаются BC, равно 7.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Страница:
<< 182 183 184 185
186 187 188 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
