Даны точки A(- 2;3), B(2;6), C(6; - 1) и D(- 3; - 4). Докажите, что диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны.

   Решение

В квадрате 4×4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные – в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 128]      

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости , то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий

Решение

Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ вершины A₁ и A₂ лежат на прямой a; B₁ и B₂ — на прямой b; C₁ и C₂ — на прямой c. A, B, C — точки пересечения прямых B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂, A₁B₁ и A₂B₂ соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг).

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 128]