Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 678]      

На доску $2018\times 2018$ клеток положили без наложений некоторое количество доминошек, каждая из которых закрывает ровно две клетки. Оказалось, что ни у каких двух доминошек нет общей целой стороны, т. е. никакие две не образуют ни квадрат $2\times 2$, ни прямоугольник $4\times 1$. Может ли при этом быть покрыто более 99% всех клеток доски?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли данную фигуру («верблюда») разбить
а) по линиям сетки;
б) не обязательно по линиям сетки
на 3 части, из которых можно сложить квадрат?

Прислать комментарий

Решение

Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.

Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Дано натуральное число $n > 1$. Что больше: количество способов разрезать клетчатый квадрат $3n \times 3n$ на клетчатые прямоугольники $1 \times 3$ или количество способов разрезать клетчатый квадрат $2n \times 2n$ на клетчатые прямоугольники $1 \times 2$?

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 678]