Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 1005]      

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.

Прислать комментарий

Решение

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Прислать комментарий

Решение

К вписанной окружности треугольника $ABC$ проведена касательная, параллельная $BC$. Она пересекает внешнюю биссектрису угла $A$ в точке $X$. Точка $Y$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности. Докажите, что угол $XIY$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ касается вписанной окружности в точке $K$, а соответствующей вневписанной в точке $L$. Точка $P$ – проекция центра вписанной окружности на серединный перпендикуляр к $AC$. Известно, что касательные в точках $K$ и $L$ к описанной окружности треугольника $BKL$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $AB$ и $BC$ касаются окружности $PKL$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 1005]