Каталог по темам

Задачи

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 797]

Задача 64474

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Прокопенко Д.

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64760

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а I_a и J_a – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJ_a и JI_a лежит на биссектрисе угла BCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64985

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65379

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Яковлев И.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66146

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB₁C₁ и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A₁, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 797]