Каталог по темам

Задачи

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1337]

Задача 52922

Темы:	[	Формула Эйлера	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В треугольнике PQR точка A — центр вписанной окружности, а точка B — центр окружности, описанной около треугольника PQR. Прямая AB перпендикулярна биссектрисе QA треугольника PQR. Известно, что угол ABQ равен $\beta$ . Найдите углы треугольника PQR.

Прислать комментарий Решение

Задача 37000

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57533

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57611

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

а) Докажите, что если для некоторого треугольника p = 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если p = 2R sin $\varphi$ + rctg( $\varphi$ /2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 < $\varphi$ < $\pi$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 57612

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что если

sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ (cos $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \gamma$ ),

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1337]