Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1337]      

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC. Из вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), и в образовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S₂. Из вершины A к S₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной C вписана окружность S₃
и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки I_a, I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая I_aI_c пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что  ∠DBQ = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = S_ABO : S_CDO.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 181 182 183 184 185 186 187 >> [Всего задач: 1337]