Каталог по темам

Задачи

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 532]

Задача 116343

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Точки A₁, B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC. Известно, что A₁B₁ = 13, B₁C₁ = 14, A₁C₁ = 15. Найдите площадь треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65371

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67377

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Векшин М., Кузнецов С.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 57158

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Гомотетия (ГМТ)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Радиусы окружностей	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108009

Темы:	[	Треугольник (построения)	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 532]