Каталог по темам

Задачи

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 377]

Задача 57446

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Симметричные неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

а) 1 < cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2;
б) 1 < sin( $\alpha$ /2) + sin( $\beta$ /2) + sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 3/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 52466

[Теорема Штейнера-Лемуса]

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий Решение

Задача 108104

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Прислать комментарий Решение

Задача 57050

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC $\leq$ 2AD.

Прислать комментарий Решение

Задача 67263

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены

a) на плоскости;

б) в пространстве?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 377]