Страница: << 104 105 106 107 108 109 110 >> [Всего задач: 1460]      

В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, ABD = ACD = 90^o, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно . Найдите BC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что расстояние между серединами отрезков BC и AH равно радиусу описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность S, точка A на ней и точка H внутри неё. Постройте на окружности такие точки B и C, чтобы точка H была точкой пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC, O — центр его описанной окружности, O₁, O₂ и O₃ — точки, симметричные точке O относительно прямых AB, BC и AC. Докажите, что середины сторон треугольника O₁O₂O₃ лежат на окружности девяти точек треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 104 105 106 107 108 109 110 >> [Всего задач: 1460]