Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1460]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110753

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110762

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Неравенства с медианами ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Медианы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке M , причем AMB=120^o . Докажите, что углы AB'M и BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110767

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111879

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Удвоение медианы ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116747

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дана окружность и хорда AB, отличная от диаметра. По большей дуге AB движется точка C. Окружность, проходящая через точки A, C и точку H пересечения высот треугольника ABC, повторно пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что прямая PH проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1460]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями