Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1460]      

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

На окружности $\omega$ зафиксирована точка $A$. Хорды $BC$ окружности $\omega$ выбираются так, что проходят через фиксированную точку $P$. Докажите, что окружности 9 точек треугольников $ABC$ касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора $BC$.

Прислать комментарий

Решение

Точка $H$ – ортоцентр треугольника ${\sf T}$. Стороны треугольника ${\sf T}_1$ проходят через середины сторон треугольника ${\sf T}$ и перпендикулярны соответствующим биссектрисам ${\sf T}$. Вершины треугольника ${\sf T}_2$ являются серединами биссектрис треугольника ${\sf T}$. Докажите, что прямые, соединяющие $H$ с вершинами треугольника ${\sf T}_1$ перпендикулярны сторонам треугольника ${\sf T}_2$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60^o .

Прислать комментарий

Решение

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1460]