Каталог по темам

Задачи

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 1460]

Задача 53300

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁, и B₁ соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁B₁C, A₁BC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 53873

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что если

$\displaystyle \angle$ B₁A₁C = $\displaystyle \angle$ BA₁C₁, $\displaystyle \angle$ A₁B₁C = $\displaystyle \angle$ AB₁C₁ и $\displaystyle \angle$ A₁C₁B = $\displaystyle \angle$ AC₁B₁,

то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 55562

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁. Известно, что луч света, пущенный из точки A₁ в точку B₁, отразившись от стороны AC попадает в точку C₁, затем, отразившись от стороны AB — в точку A₁, оттуда — снова в точку B₁ и т.д. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 55604

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

ABC — данный остроугольный треугольник, H — точка пересечения высот. Положим AB = c, BC = a, CA = b, AH = x, BH = y, CH = z. Докажите, что верно равенство ayz + bzx + cxy = abc.

Прислать комментарий Решение

Задача 66788

Темы:	[	Прямая Симсона	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 1460]