Каталог по темам

Задачи

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1460]

Задача 67542

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 73632

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Розенталь А.Л.

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Прислать комментарий Решение

Задача 109499

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116913

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55521

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Автор: Волчкевич М.А.

Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC, $\angle$ CDE = 30^o. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60^o или 120^o.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1460]