Страница:
<< 278 279 280 281
282 283 284 >> [Всего задач: 2992]
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся
окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку
касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти
прямые проходят через одну точку.
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой
ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем
путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру
окружности, берём со знаком `` плюс'', а участки пути, по которым мы
удалялись от центра, — со знаком `` минус''. Докажите, что для любого
такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными
знаками, равна нулю.
(
Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты
соответственно точки D, E и F так, что DE = BE, FE = CE.
Докажите, что центр описанной около треугольника ADF окружности
лежит на биссектрисе угла DEF.
|
[Задача о бабочке]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра
данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две
точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
Страница:
<< 278 279 280 281
282 283 284 >> [Всего задач: 2992]
Фильтр
