Каталог по темам

Задачи

Страница: << 275 276 277 278 279 280 281 >> [Всего задач: 2992]

Задача 67522

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник $ABC$. Пусть $CL$ — его биссектриса, $W$ — середина дуги $BCA$, а $P$ — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины $C$. Окружность $CPW$ пересекает прямую, проходящую через $C$ и параллельную $AB$, в точке $Q$. Докажите, что $LC=LQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 52856

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Пусть M — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C треугольника ABC, а N — точка пересечения биссектрис внешнего угла B и внутреннего угла C. Докажите, что середина отрезка MN лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 53691

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC, r_a — радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны BC. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен R² + 2Rr_a.

Прислать комментарий Решение

Задача 108133

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Общие четырехугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Шарыгин И.Ф.

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .

Прислать комментарий Решение

Задача 108193

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 275 276 277 278 279 280 281 >> [Всего задач: 2992]