Каталог по темам

Задачи

Страница: << 299 300 301 302 303 304 305 >> [Всего задач: 2992]

Задача 56705

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 8
Классы: 9,10

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; $\varphi$ = $\angle$ ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg² ${\frac{\varphi }{2}}$ . Докажите также, что r = r₁cos² ${\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin² ${\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Прислать комментарий Решение

Задача 110757

Темы:	[	Концентрические окружности	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 8+
Классы: 10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей b₁ и b₂ касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей c₁ и c₂ касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что 8 точек, в которых окружности b₁ , b₂ пересекают c₁ , c₂ , лежат на двух окружностях, отличных от b₁ , b₂ , c₁ , c₂ . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.)

Прислать комментарий Решение

Задача 53196

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $\alpha$ . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

Прислать комментарий Решение

Задача 53917

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Через точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53930

Темы:	[	Биссектриса угла	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 299 300 301 302 303 304 305 >> [Всего задач: 2992]