Каталог по темам

Задачи

Страница: << 297 298 299 300 301 302 303 >> [Всего задач: 2992]

Задача 58399

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Прислать комментарий Решение

Задача 58400

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ $\displaystyle \ge$ 1,

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A₁, B₁, C₁. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a₁, b₁, c₁ — длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

4S² $\displaystyle \le$ a²b₁c₁ + b²a₁c₁ + c²a₁b₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58401

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 58402

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A₁A₂...A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1}A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно 2 $\bigl($ 1 - cos(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56704

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 297 298 299 300 301 302 303 >> [Всего задач: 2992]