Страница:
<< 366 367 368 369
370 371 372 >> [Всего задач: 2992]
Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1
и CC1. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A1C1 в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Через две точки, лежащие в круге, провести окружность,
лежащую целиком в том же круге.
|
[Обобщенная теорема синусов.]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу
противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около
треугольника.
Страница:
<< 366 367 368 369
370 371 372 >> [Всего задач: 2992]
Фильтр
