Подтемы:
- Вписанный угол равен половине центрального (209 задач)
- Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды (501 задача)
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр (306 задач)
- Величина угла между двумя хордами и двумя секущими (65 задач)
- Отрезок, видимый из двух точек под одним углом (83 задачи)
- Угол между касательной и хордой (275 задач)
- Биссектриса делит дугу пополам (44 задачи)
- Три окружности пересекаются в одной точке (20 задач)
- Вписанный угол (прочее) (17 задач)
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
а) Докажите, что существует единственное аффинное
преобразование, которое переводит данную точку O в данную
точку O', а данный базис векторов
e1,
e2 —
в данный базис
e1',
e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите,
что существует единственное аффинное преобразование, переводящее
точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует
единственное аффинное преобразование, которое один из них
переводит в другой.
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
а) Какая последняя цифра этого числа?
б) Каковы десять последних цифр этого числа?
Петя написал на доске верное равенство: 35+10-41=42+12-50, а затем вычел из обеих частей по 4: 35+10-45=42+12-54. Он заметил, что в левой части равенства все числа делятся на 5, а в правой - на 6. Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил 5(7+2-9)=6(7+2-9). Сократив обе части на общий множитель, Петя получил, что 5=6. Где он ошибся?
Задачи Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1282]
Задача 67123 |
|
|
Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.
|
|
Решение |
Задача 67337 |
|
|
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.
|
|
|
Решение |
Задача 78033 |
|
|
На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A1, B1, C1, D1. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A1, B1, C1, D1 лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 78083 |
|
|
Все точки данного отрезка AB проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку O. Найти геометрическое место этих проекций.
|
|
|
Решение |
Задача 108497 |
|
|
Известно, что трапеция ABCD — равнобедренная,
BCAD и BC > AD.
Трапеция ECDA также равнобедренная, причём
AE
DC и AE > DC.
Найдите BE, если известно, что косинус суммы двух углов
CDE и
BDA
равен
, а DE = 7.
|
|
|
Решение |
Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1282]
