Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 240]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
На данной прямой
l, проходящей через центр
O данной окружности, фиксирована
точка
C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки
A и
A'
расположены на окружности по одну сторону от
l так, что углы, образованные
прямыми
AC и
A'C с прямой
l, равны. Обозначим через
B точку
пересечения прямых
AA' и
l. Доказать, что положение точки
B не зависит
от точки
A.
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке
A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые,
одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а
другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где
точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.
Окружность C2 расположена внутри окружности C1 и касается
ее в точке P. Секущая MN окружности
C1(M, N 
C1) и секущая
ST окружности C2 (
S, T C2) пересекаются в точке Q,
причем PQ является касательной к окружности C1. Отрезки NS и TM
пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше
площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9,
MQ = 6 и
TQ > SQ, NQ > MQ.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 240]
Фильтр
