Страница:
<< 175 176 177 178
179 180 181 >> [Всего задач: 996]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку
пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна
биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и
BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки
B до точки пересечения высот треугольника BKH.
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним
образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие
центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Дан треугольник
A0
B0
C0
. На отрезке
A0
B0
отмечены точки
A1
,
A2
, ,An , а на отрезке
B0
C0
– точки
C1
,
C2
, , Cn , причём
все отрезки
AiCi+1
(
i=0
,1
, n-1
), параллельны
между собой и все отрезки
CiAi+1
(
i=0
,1
, n-1
)
– тоже. Отрезки
C0
A1
,
A1
C2
,
A2
C1
и
C1
A0
ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки
C1
A2
,
A2
C3
,
A3
C2
и
C2
A1
–
тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех
n-1
получившихся
параллелограммов меньше половины площади треугольника
A0
B0
C0
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:
– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.
– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.
Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .
Страница:
<< 175 176 177 178
179 180 181 >> [Всего задач: 996]
Фильтр
