Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Решение

Рассмотрим проективное преобразование, переводящее окружность S в окружность, а точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF – в бесконечно удаленные точки (см. задачу 58425). Наша задача свелась к задаче 56552.

Прислать комментарий

Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Решение

Применив к шестиугольнику $BKMDNL$ теорему Паскаля, получаем, что прямые $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $X$, лежащей на прямой $AC$. Тогда $KX\cdot XM=LX\cdot XN=PX\cdot XQ$, ч.т.д.

Прислать комментарий

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке G, BC и EF в точке H, CD и FA в точке K. Пусть, далее, X и Y — точки пересечения описанной окружности треугольника EBH с прямыми AB и DE. Покажем, что соответственные стороны треугольников ADK и XYH параллельны. (Из этого следует, что прямая KH проходит через точку G.)
Из равенств (YX, AB) = (YX, XB) = (YE, EB) = (DE, EB) = (DA, AB) следует, что AD| XY. После этого из равенств (XY, YH) = (XB, BH) = (AB, BC) = (AD, DC) = (AD, DK) следует, что DK| YH, а из равенств (YH, XH) = (YE, EH) = (DE, EF) = (DA, AF) = (DA, AK) следует, что AK| XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник ABCDEF выпуклый; вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с вершинами на окружности.

Прислать комментарий

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Решение

Середина отрезка $DH$ является центром равносторонней гиперболы $ABCDH$. Пусть $B'$, $C'$ – точки этой гиперболы, противоположные $B$, $C$ соответственно. Тогда $HB'\parallel BD$, $HC'\parallel CD$ и, применяя теорему Паскаля к шестиугольнику $ABB'HC'C$, получаем утверждение задачи.

Прислать комментарий

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Решение

Пусть A₂, B₂ и C₂ — указанные точки пересечения прямых. Применяя теорему Паскаля к точкам  M, A₁, A, C, B, B₁, получаем, что точки A₂, B₂ и R лежат на одной прямой. Аналогично точки A₂, C₂ и R лежат на одной прямой. Следовательно, точки  A₂, B₂, C₂ и R лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]