Страница:
<< 201 202 203 204 205 206
207 >> [Всего задач: 1032]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE: ∠A = ∠C =
90°, AB = AE, BC = CD, AC = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Дан параллелограмм ABCD с углом A, равным 60°. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABD. Прямая AO пересекает биссектрису внешнего угла C в точке K. Найдите отношение AO : OK.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T1 был остроугольным?
б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон
AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I1 и I2 центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I1, I2, A,
N лежат на одной окружности.
Страница:
<< 201 202 203 204 205 206
207 >> [Всего задач: 1032]
Фильтр
