Каталог по темам

Задачи

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1036]

Задача 109532

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Векторы сторон многоугольников	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Токарев С.И.

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109609

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Гордон В.

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110062

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, ..., a_n. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110100

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111816

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Филимонов В.П.

Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1036]