Каталог по темам

Задачи

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 355]

Задача 78571

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.).

Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109806

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Прислать комментарий Решение

Задача 67557

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник $ABC$. Прямая $m_1$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно, а прямая $m_2$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_2, B_2, C_2$, при этом $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно середины $BC$, $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно середины $CA$, $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно середины $AB$. Докажите, что $m_1\perp m_2$ тогда и только тогда, когда $m_1$ и $m_2$ являются для треугольника $ABC$ прямыми Симсона (для некоторых точек окружности $ABC$).

Прислать комментарий Решение

Задача 67558

Темы:	[	Теорема Паскаля	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Волокитин Е.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 110757

Темы:	[	Концентрические окружности	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 8+
Классы: 10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей b₁ и b₂ касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей c₁ и c₂ касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что 8 точек, в которых окружности b₁ , b₂ пересекают c₁ , c₂ , лежат на двух окружностях, отличных от b₁ , b₂ , c₁ , c₂ . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 355]