Каталог по темам

Задачи

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 355]

Задача 66314

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Швецов Д.В.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а O_a, O_b – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка O_aO_b лежит на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55233

Темы:	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65229

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115455

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

В треугольнике АВС : АС = . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС , середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 116754

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Зайцева Ю.

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA₁, CC₁ – высоты. Прямая A₁C₁ пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 355]