Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 162]      

Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров симметрии (например, полоса между двумя параллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется точка $Z$ такая, что для любой из данных точек точка, симметричная ей относительно $Z$, лежит на окружности, проходящей через оставшиеся данные точки.

Прислать комментарий

Решение

Точка O — центр круга, описанного около треугольника ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ симметричны точке O относительно сторон треугольника ABC. Докажите, что все высоты треугольника A₁B₁C₁ проходят через точку O, а все высоты треугольника ABC проходят через центр круга, описанного около треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть P - середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PDC равна половине площади четырехугольника ABCD, то стороны BC и AD параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы которого лежат на данных окружностях, а середина — в данной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 162]