Страница:
<< 56 57 58 59 60 61
62 >> [Всего задач: 307]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A0C0, где A0 и C0 – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
В треугольной пирамиде
ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках
ABC ,
ABD ,
ACD
лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер
AB ,
AC ,
AD .
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
H – ортоцентр остроугольного треугольника
ABC, D –
середина стороны
AC. Прямая, проходящая через точку
H перпендикулярно отрезку
DH, пересекает стороны
AB и
BC
в точках
E и
F. Докажите, что
HE = HF.
Страница:
<< 56 57 58 59 60 61
62 >> [Всего задач: 307]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Вписанный угол
>>
Вписанный угол, опирающийся на диаметр
