ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 56631

Тема:   [ Точка Микеля ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б)  $ \angle$EPO = 90o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66811

Темы:   [ Точка Микеля ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108894

Темы:   [ Точка Микеля ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109488

Темы:   [ Точка Микеля ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Точки A' , B' и C' "– середины сторон BC , CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH "– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M , отличную от H , то ABM= CBB' .
Прислать комментарий     Решение


Задача 56632

Тема:   [ Точка Микеля ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .