Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется
кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый
вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника.
Обязательно ли он равен исходному?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
x² + y² = A,
|x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
x² + y² + z² = C,
|x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
Фильтр
