Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]

Задача 98620

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что ^R/_r > ^a/_h.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77872

Темы:	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Неравенства с углами	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.

Прислать комментарий Решение

Задача 98466

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Средние величины	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Канель-Белов А.Я.

Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдётся n граней с одинаковым числом сторон.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109176

Темы:	[	Отрезок, соединяющий середины ребер	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Прислать комментарий Решение

Задача 98507

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Венгерский фольклор

а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?

б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).

в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]