Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
AA1 – медиана треугольника ABC. Точка C1 лежит на стороне AB, причём AC1 : C1B = 1 : 2. Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке M.
Найдите отношения AM : MA1 и CM : MC1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1
проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и
CB1D1
и делится ими на три равные части.
|
[Теорема Ван-Обеля]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке K.
Докажите, что AK/KA1 = AB1/B1C + AC1/C1B.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]
Фильтр
