ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



Задача 116839

Темы:   [ Центр масс ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Линейные зависимости векторов ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53769

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

AA1 – медиана треугольника ABC. Точка C1 лежит на стороне AB, причём  AC1 : C1B = 1 : 2.  Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке M.
Найдите отношения  AM : MA1  и  CM : MC1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 87008

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Центр масс ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11


Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.

Прислать комментарий     Решение


Задача 53898

 [Теорема Ван-Обеля]
Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Центр масс ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке K.
Докажите, что  AK/KA1 = AB1/B1C + AC1/C1B.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64925

Темы:   [ Куб ]
[ Центр масс ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .