ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 34]      



Задача 65039

Темы:   [ ГМТ (прочее) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Центр масс (прочее) ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).

б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65398

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Свойства сечений ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66251

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Поворот и винтовое движение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
[ Барицентрические координаты ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
  а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116913

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Момент инерции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = r/3  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .