ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



Задача 108058

Темы:   [ Метод координат ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64518

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Центр масс ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 87082

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]
[ Центр масс ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных ребер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98140

Темы:   [ Площадь треугольника (прочее) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Даны три треугольника: A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида AiBjCk, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53896

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .