ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



Задача 61158

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ]
[ Момент инерции ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  nn/2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116350

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Признаки подобия ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AM : MB = 1 : 2,  AN : NC = 3 : 2.  Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите  CF : BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116338

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки подобия ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Центр масс ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём  AM : MB = 3 : 5,  BN : NC = 1 : 4.  Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OA : ON  и  OM : OC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116339

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки подобия ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Центр масс ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки N и M соответственно, причём  AN : NB = 3 : 2,  AM : MC = 4 : 5.  Прямые BM и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OM : OB  и  ON : OC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98376

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.
  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  n = 10?
  б) Тот же вопрос для  n = 9.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .