Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 34]
На плоскости расположены три окружности Ω1, Ω2, Ω3 радиусов r1, r2, r3 соответственно – каждая вне двух других, причём r1 > r2 и
r1 > r3. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω2 проведены касательные к окружности Ω3, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω3 проведены касательные к окружности Ω2. Докажите, что последние две пары
касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и
найдите её радиус.
В треугольнике ABC взяты точка N на стороне AB, а точка
M – на стороне AC. Отрезки CN и BM пересекаются в точке O, AN : NB = 2 : 3, BO : OM = 5 : 2.
Найдите CO : ON.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A1, B1 и C1 соответственно, причём BA1 : A1C = CB1 : B1A = AC1 : C1B = 1 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA1, BB1 и CC1, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.
|
[Теорема Чевы]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
Пусть точки A1, B1 и C1 принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Докажите, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 34]
Фильтр
