В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = a и CD = b.

   Решение

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

   Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab ^. CD/2p.

   Решение

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)

   Решение

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

   Решение

Два квадрата расположены как на рисунке, отмеченные отрезки равны. Докажите, что треугольник BDG равнобедренный.

   Решение

Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа 50 × 50 сантиметров, расчерченная на клеточки 10× 10 см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков 10× 10× 10 см. Потом Таня включает воду.

Если высоты башенок были такие, как в таблице справа, то при уровне воды 5 см был 1 остров, при уровне воды 15 см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды 25 см все башенки оказались закрыты водой и стало 0 островов.

Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

Уровень воды (см)	5	15	25	35	45
Количество островов	2	5	2	5	0

В ответе напишите в каждой клетке квадрата 5 на 5, сколько кубиков на ней стоит.

   Решение

В параллели 7-х классов 100 учеников, некоторые из которых дружат друг с другом. 1 сентября они организовали несколько клубов, каждый из которых основали три ученика (у каждого клуба свои). Дальше каждый день в каждый клуб вступали те ученики, кто дружил хотя бы с тремя членами клуба. К 19 февраля в клубе «Гепарды» состояли все ученики параллели. Могло ли получиться так, что в клубе «Черепахи» в этот же день состояло ровно 50 учеников?

   Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

   Решение

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

   Решение

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).

   Решение

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Радикальная ось ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема о бабочке.

Прислать комментарий

Условие

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

Решение 1

  Пусть QX и QY – высоты треугольников CQM и CQL, а PZ и PT – высоты треугольников CPK и CPN (рис. слева). Треугольники CQX и CPT подобны по двум углам. Также подобны треугольники CQY и CPZ с тем же коэффициентом подобия ^CQ/_CP. Поэтому   CQ : CP = QX : PT = QY : PZ.  Значит,
^CQ²/_CP² = ^OX/_PT ·^OY/_PZ = ^OX/_PZ ·^OY/_PT.
  Из равенства углов NKL и NML, а также MLK и MNK следует, что треугольник MXQ подобен треугольнику KZP, а треугольник LYQ – треугольнику NTP. Поэтому  ^OX/_PZ ·^OY/_PT = ^MQ/_KP ·^LQ/_NP.
  По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд
MQ·LQ = AQ·QB = (AC + CQ)(BC – CQ) = (AC + CQ)(AC – CQ) = AC² – CQ².   Аналогично  KP·NP = AC² – CP².
  Следовательно,  
  После перемножения и приведения подобных получим, что  CQ² = CP².

Решение 2

  Опустим из центра O данной окружности перпендикуляры OG и OH на хорды KN и ML соответственно (рис. справа). Тогда G и H – середины отрезков KN и ML. Рассмотрим случай, когда P и G – различные точки и Q и H – различные точки.
  Точки C и G лежат на окружности с диаметром OP, а точки C и H – на окружности с диаметром OQ. По теореме о вписанных углах  ∠COP = ∠CGP  и
∠COQ = ∠CHQ.  Поскольку треугольники KCN и MCL подобны, а CG и CH – их медианы, то подобны и треугольники KCG и MCH. Поэтому
∠CGP = ∠CHQ,  ∠COP = ∠COQ.
  Таким образом, высота CO треугольника POQ является его биссектрисой, а значит и медианой.

Решение 3

  Отразим окружность Ω относительно точки C (см. рис.).

  Лемма. Точки N', M, K' и L лежат на одной окружности.
  Доказательство. При центральной симметрии угол KNM переходит в угол K'N'M'. Следовательно,  ∠K'LM = ∠KLM = ∠KNM = ∠K'N'M' = ∠K'N'M,  что и требовалось.

 LM – общая хорда чёрной и зелёной окружностей, AB – чёрной и синей, K'N' – синей и зелёной. В силу теоремы о радикальном центре трёх окружностей), эти три отрезка пересекаются в одной точке, то есть точка Q лежит на отрезке K'N'. Таким образом, концы отрезка PQ лежат на противоположных сторонах параллелограмма KNK'N'. Поскольку точка C – центр симметрии этого параллелограмма, то она делит этот отрезок пополам.

Решение 4

  Рассмотрим проективное преобразование, которое окружность Ω переводит в окружность Ω', а точку С – в её центр O (см. задачу 58424 а)). Пусть A', B', ... – образы точек A, B, ... Тогда A'B', K'L' и M'N' – диаметры. Поэтому при центральной симметрии относительно O точка P' переходит в Q', то есть O – середина отрезка P'Q'. Так как хорда AB перпендикулярна диаметру, проходящему через С, то согласно задаче 58424 б) она параллельна исключительной прямой. Следовательно, согласно задаче 58422 б) отношения отрезков, лежащих на прямой AB, сохраняются, а значит, С – середина отрезка PQ.

Замечания

Ср. с задачей 53134.

Источники и прецеденты использования