Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

   Решение

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

   Решение

У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?

   Решение

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

   Решение

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;0;3) параллельно плоскости 2x - y - 3z + 5 = 0 .

   Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

   Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что  ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α.  Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

   Решение

Через точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A₁, B₁ и C₁. Пусть a₁, b₁ и c₁ – длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S и S₁ – площади треугольников ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что:
  а)  
  б)   S₁ – S = ¹/₈ (a² + b² + c²).

   Решение

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

   Решение

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

   Решение

Дан выпуклый шестиугольник P₁P₂P₃P₄P₅P₆, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ и Q₆ соответственно. Докажите, что треугольники Q₁Q₃Q₅ и Q₂Q₄Q₆ равны.

   Решение

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.
  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

   Решение

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

   Решение

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

   Решение

Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими.
  а) Докажите, что если отменить любые  n – 1  рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками).
  б) Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.

   Решение

Темы:    [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими.
  а) Докажите, что если отменить любые  n – 1  рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками).
  б) Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.

Решение

  а) Предположим, что после отмены некоторых рейсов "связность" нарушилась. Рассмотрим некоторый город A, множество M всех городов, в которые можно проехать из A (возможно, с пересадками) и его дополнение N. Ясно, что между городами из M и N авиалиний нет. При этом в одном из этих множеств не более n городов; пусть их k.
  Первоначально каждый из этих городов был связан авиалиниями не менее чем с n городами, поэтому по крайней мере n + 1 – k  рейсов соединяли его с городами "чужого множества" и, следовательно, были отменены. Значит, всего было отменено не меньше чем  k(n + 1 – k)  рейсов. Но  k(n + 1 – k) > n – 1  при  k = 1, 2, ..., n .  Следовательно, если отменить  n – 1  рейс, то "связность" не нарушается.

  б) Заметим, что  k(n + 1 – k) = n  лишь при  k = 1  и  k = n.  Если  k = 1,  то это значит, что некоторый город был связан рейсами ровно с n городами и все эти рейсы были отменены. Если  k = n,  то это значит, что некоторые n городов A₁, A₂, ..., A_n попарно соединены авиалиниями, оставшиеся n городов B₁, B₂, ..., B_n тоже попарно соединены авиалиниями и есть еще n рейсов, соединяющих города A₁ и B₁, A₂ и B₂, ..., A_n и B_n. На рисунке см. схемы авиалиний для  n = 2  и  n = 3.

Источники и прецеденты использования