ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 111042

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема синусов ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111040

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a2 делится на натуральное число  2ab2b3 + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111043

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть  x1 ≤ ... ≤ xn.  Докажите неравенство     Докажите, что оно обращается в равенство только если числа x1, ..., xn образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111039

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t1, ..., t100  из S множества   Aj = {x + tj | xA;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111044

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .