ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 116760  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB1AC1 = CA1CB1 = BC1BA1.  Пусть IA, IB и IC – центры окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1 и A1B1C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IAIBIC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116768  (#10.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116776  (#11.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB1AC1 = CA1CB1 = BC1BA1.  Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116761  (#9.7)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их a и b) и заменить их на числа  a² – 2011b²  и ab. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116769  (#10.7)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(n – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .