ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



Задача 97973

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109881

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Производная и кратные корни ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110149

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Процессы и операции ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храмцов Д.

Пусть многочлен  P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0  имеет хотя бы один действительный корень и  a0 ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111813

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  m/n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115404

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)1000 – (cx + d)1000  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .