Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 506]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы при вершинах B и D – прямые, ∠BCA = ∠DCE, а точка M – середина стороны AE. Доказать, что MB = MD.
Внутри правильного n-угольника взята точка, проекции которой на все стороны попадают во внутренние точки сторон. Этими точками стороны разделяются на 2n отрезков. Занумеруем их подряд: 1, 2, 3, ..., 2n. Доказать, что сумма длин отрезков с чётными номерами равна сумме длин отрезков с нечётными номерами.
Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол 360°/N (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM0, через секунду – OM1, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM2, ещё через три секунды после этого – OM3, и т. д., ещё через N – 1 секунду после ОМN–2 – OMN–1.
При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся
степенями двойки?
Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 506]
Фильтр
