Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]
Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?
Подсказка
Чему могут быть равны стороны такого треугольника?
Решение
Предположим, что такой треугольник существует. Согласно формуле площади треугольника, его стороны обратно пропорциональны высотам, т.е. числам 1, ½, ⅓. Но треугольника с такими сторонами не существует согласно неравенству треугольника.
Ответ
Не существует.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что
наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.
Подсказка
Запишите выражение для площади треугольника через радиус вписанной окружности и стороны,
а также через высоты и стороны.
Решение
Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник,
a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон.
Обозначим также за h
a, h
b, h
c
длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c.
Запишем выражение для площади S треугольника.
С одной стороны, S=(a+b+c)r/2.
С другой стороны, S=ah
a/2.
Отсюда следует равенство h
a/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a.
Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1.
Таким образом, h
a=h
a/r не превосходит 3,
что и требовалось доказать.
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.
Решение
Пусть K и L – середины сторон АВ и АС, AH – высота, A', B' и C' – точки касания окружности со сторонами высота треугольника АВС, r – радиус этой окружности (см. рис.).
Так как
OM || BC, то
r = OA' =
1/
3 AH. Из того, что
SABC = ½
BC·AH = (
AB + BC + AC)
r следует, что ½ (
AB + AC) =
BC. Кроме того,
BA' = BC' и
CA' = CB', поэтому
BC' + CB' = BC = BK + CL. Следовательно,
C'K = |BC – BK| = |CL – CB'| = B'L.
Таким образом, прямоугольные треугольники
OKC' и
OLB'
равны по двум катетам, откуда
OK = OL.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена
на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон
соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного)
четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.
Решение
Согласно задаче
56771 площадь среднего из четырехугольников, заданных отрезками, соединяющими точки сторон
AB и
CD, в пять раз меньше площади исходного четырехугольника. А так как каждый из рассматриваемых отрезков делится отрезками, соединяющими соответствующие точки другой пары противоположных сторон, на пять
равных частей (см. задачу
56471), то, воспользовавшись еще раз результатом задачи
56771, получим требуемое.
На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что A3B4 || AB.
Решение
Поскольку AB = BB1, BC = BB2 и ∠B1BB2 = π − ∠ABC, то SABC = SBB1B2. Аналогично, SB1A2A3 = SAA1A2 = SABC = SBB1B2 = SB1A2B4. Следовательно,
A3B4 || A2B1 || AB.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Площадь
>>
Площадь треугольника.
>>
Площадь треугольника (через высоту и основание)
