Все авторы
>>
Алексеев В.Б. 
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых
согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными
шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
для простоты шестёренки считаются кругами;
шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами
их окружностей, проведёнными в точку касания;
первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с
третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.
По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.
Ниже приведён фрагмент мозаики, которая состоит из ромбиков двух видов: "широких" и "узких" (см. рис.).
Нарисуйте, как по линиям мозаики вырезать фигуру, состоящую ровно из 3 "широких" и 8 "узких" ромбиков. (Фигура не должна распадаться на части.)
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
А если богатырей
б) десять?
в) тридцать три?
Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.
Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число 2n – 1 делится на число (2m – 1)² тогда и только тогда, когда число n делится на число m(2m – 1).
Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.
Докажите, что если 0 < a, b < 1, то
Пусть AHa и BHb – высоты треугольника ABC, P и Q – проекции точки Ha на стороны AB и AC. Докажите, что прямая PQ делит отрезок HaHb пополам.
Дана клетчатая полоска из 2n клеток, пронумерованных слева направо следующим образом:
1, 2, 3, ..., n, –n, ..., –2, –1
По этой полоске перемещают фишку, каждым ходом сдвигая её на то число клеток, которое указано в текущей клетке (вправо, если число положительно, и влево, если отрицательно). Известно, что фишка, начав с любой клетки, обойдёт все клетки полоски. Докажите, что число 2n + 1 простое.
Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.
В шестиугольнике ABCDEF, вписанном в окружность, AB = BC, CD = DE, EF = FA.
Докажите, что площадь треугольника BDF равна половине площади шестиугольника.
Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Разрезать отрезок [–1, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой а) линейной функции; б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.
В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке M, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке T. Оказалось, что отрезки CM и AT разбили треугольник ABC на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.
Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом
слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят
цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое
(вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")
Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Все задачи автора Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 65000 |
|
|
Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из n – 1 цветов так, чтобы от каждого блока отходил n – 1 провод разного цвета, если а) n = 6; б) n = 13?
|
|
Решение |
Задача 79450 |
|
|
Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
|
|
|
Решение |
Задача 109484 |
|
|
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
|
|
Решение |
Задача 73649 |
|
|
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
|
|
|
Решение |
Задача 109487 |
|
|
В таблице размера n×n клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
