Все авторы
>>
Хачатурян А.В. 
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?
Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2k?
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3 : 4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?
Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
x² + y² = A,
|x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
x² + y² + z² = C,
|x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.
Дан отрезок длины Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
В компанию из n человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть Z, задав
менее n вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того,
чтобы наверняка найти Z, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько
вопросов.)
Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5n начинается цифрой 2?
Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника
a) число вершин;
б) число рёбер.
а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти
произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится?
б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.
Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам
окружностей.)
На сетке из равносторонних треугольников построен угол ACB (см. рисунок). Найдите его величину.
Легко оклеить поверхность куба шестью ромбами (например, шестью квадратами). А можно ли оклеить поверхность куба (без щелей и наложений) менее чем шестью ромбами (не обязательно одинаковыми)?
Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.
Верно ли, что на графике функции y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y = x³ + |x| + 1 – такую точку B, что расстояние AB не превысит 1/100?
Все задачи автора Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]
Задача 66376 |
|
|
Автобусная остановка B расположена на прямолинейном шоссе между остановками A и C. Через некоторое время после выезда из A автобус оказался в такой точке шоссе, что расстояние от неё до одной из трёх остановок равно сумме расстояний до двух других. Ещё через такое же время автобус снова оказался в точке с таким свойством, а ещё через 25 минут доехал до B. Сколько времени требуется автобусу на весь путь от A до C, если его скорость постоянна, а на остановке B он стоит 5 минут?
|
|
Решение |
Задача 103896 |
|
|
Сложите из фигур, изображённых на рисунке, а) квадрат размером 9×9 с вырезанным в его центре квадратом 3×3; б) прямоугольник размером 9×12.
(Фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать.)
|
|
|
Решение |
Задача 103902 |
|
|
Сложите из фигур, изображённых на рисунке, квадрат размером 9×9 с вырезанным в его центре квадратом 3×3.
(Фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать.)
|
|
|
Решение |
Задача 111320 |
|
|
Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис.. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.
|
|
|
Решение |
Задача 98574 |
|
|
Верно ли, что на графике функции y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y = x³ + |x| + 1 – такую точку B, что расстояние AB не превысит 1/100?
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]
