В треугольнике ABC  AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что  AE = ED.  Найдите угол DAC.

   Решение

Решите уравнение $$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$ где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.

   Решение

Через вершины B и C треугольника ABC провели перпендикулярно прямой BC прямые b и c соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают прямые b и c в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.

   Решение

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

Какое наибольшее количество множителей вида     можно вычеркнуть в левой части уравнения     так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?

   Решение

Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?

   Решение

Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

   Решение

Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: ¹/₂₀₀₉ и ¹/₂₀₀₈. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?

Прислать комментарий

Решение

Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

Прислать комментарий

Решение

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
  а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
  б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

Прислать комментарий

Решение

Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: ¹/₂₀₀₉ и ¹/₂₀₀₈. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

Прислать комментарий

Решение

Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее, чем за семь попыток?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]